數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和Sn與an之間滿足an=
2
S
2
n
2Sn-1
(n≥2).
(1)求證:數(shù)列{
1
Sn
}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)存在正數(shù)k,使(1+S1)(1+S2)..(1+Sn≥k
2n+1
對(duì)一切n∈N×都成立,求k的最大值.
分析:(1)由數(shù)列的性質(zhì)an=Sn-Sn-1及an=
2
S
2
n
2Sn-1
(n≥2)得到關(guān)系Sn-Sn-1=
2S
2
n
2Sn-1
,對(duì)其進(jìn)行變形整理出可以判斷數(shù)列為等差數(shù)列的形式即可.
(2)欲證明不等式一切n∈N×都成立須證明
(1+S1)(1+S2)…(1+Sn
2n+1
的單調(diào)性,求出其最值由(1)知,此式中的各個(gè)因子符號(hào)為正,故研究其單調(diào)性可以借助作商法來研究,故先構(gòu)造函數(shù),F(xiàn)(n)=
(1+S1)(1+S2)…(1+Sn)  
2n+1
,然后再令[F(n)]min≥k即可.
解答:解:(1)證明:∵n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1(1分)
∴Sn-Sn-1=
2S
2
n
2Sn-1
,∴(Sn-Sn-1)(2Sn-1)=2Sn2
∴=Sn-1-Sn=2SnSn-1(3分)
1
Sn
-
1
Sn-1
=2(n≥2),(5分)
數(shù)列{
1
Sn
}是以
1
S1
=1為首項(xiàng),以2為公差的等差數(shù)列.(6分)
(2)由(1)知
1
Sn
=1+(n-1)×2=2n-1
,
Sn=
1
2n-1
,∴Sn+1=
1
2n+1
(7分)
設(shè)F(n)=
(1+S1)(1+S2)…(1+Sn)  
2n+1
,
F(n+1)
F(n)
=
(1+Sn+1)
2n+1
2n+3

=
2n+2
(2n+1)(2n+3)

=
4n2+8n+4
4n2+8n+3
>1
(10分)
∴F(n)在n∈N*上遞增,要使F(n)≥k恒成立,只需[F(n)]min≥k
∵[F(n)]min=F(1)=
2
3
3
,∴0<k≤
2
3
3
,kmax=
2
3
3
.(12分)
點(diǎn)評(píng):本小題考查等差數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和關(guān)系以及數(shù)列與不等式相結(jié)合的有關(guān)問題.本題技巧性強(qiáng),(1)中的變形證明及(2)中的轉(zhuǎn)化為函數(shù)來判斷單調(diào)性都需要較高的知識(shí)組合能力及較高的觀察能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,前n項(xiàng)和是Sn,存在常數(shù)A,B使an+Sn=An+B對(duì)任意正整數(shù)n都成立.
(1)設(shè)A=0,求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若p<q,且
1
Sp
+
1
Sq
=
1
S11
,求p,q的值.
(3)設(shè)A>0,A≠1,且
an
an+1
≤M
對(duì)任意正整數(shù)n都成立,求M的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=a(a∈R),且an+1=
an-3
-an+4
an>3時(shí)
an≤3時(shí)
n=1,2,3,….
(I)若0<a<1,求a2,a3,a4,a5;
(II)若0<an<4,證明:0<an+1<4;
(III)若0<a≤2,求所有的正整數(shù)k,使得對(duì)于任意n∈N*,均有an+k=an成立.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3,{bn}為等差數(shù)列且bn=an+1-an(n∈N*),若b3=-2,b10=12,則a8=(  )
A、0B、3C、8D、11

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•青島二模)已知數(shù)列{an}是以3為公差的等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和,若S10是數(shù)列{Sn}中的唯一最小項(xiàng),則數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1的取值范圍是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•浙江模擬)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和Sn滿足an=
Sn
+
sn-1
(n≥2).
(Ⅰ)求證:{
Sn
}為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)記數(shù)列{
1
anan+1
}的前n項(xiàng)和為Tn,若對(duì)任意的n∈N*,不等式4Tn<a2-a恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案