Question

( 本小題滿分12分)

已知點是離心率為的橢圓：上的一點．斜率為的直線交橢圓于、兩點，且、、三點不重合．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由？

（Ⅲ）求證：直線、的斜率之和為定值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） 

       （Ⅱ）當時，的面積最大，最大值為；

  （Ⅲ）見解析。

【解析】（1）在橢圓中，有，點在橢圓上，得到，離心率為，即，三個方程三個參數(shù)，可解出，得橢圓的方程；（2）設出直線的斜截式方程與橢圓方程聯(lián)立，保證判別式大于0，設出點的坐標，利用跟與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式求出的長，再由點到直線的距離公式求得點到直線BD的距離，就得到的面積，利用不等式求出或二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.

（Ⅰ），  ，

∴，，

∴    ………………………………………………4分

       （Ⅱ）設直線BD的方程為

  

  ………………………①

    ………………………②

，

設為點到直線BD：的距離，

 ∴

∴ ，當且僅當時取等號.

因為，所以當時，的面積最大，最大值為………9分

  （Ⅲ）設，，直線、的斜率分別為： 、，則

= …………………………（*）

 將（Ⅱ）中①、②式代入（*）式整理得

=0，

即0………………………………………………………………12分