Question

【題目】已知函數，則下列判斷中是真命題的有（ ）．

①，；②是偶函數；③對于任意一個非零有理數，，；④存在三個點，，，使得為等邊三角形．

A.①②③B.①②③④C.①③④D.②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①根據函數的對應法則，可知無論x是有理數還是無理數，均有f（f（x））＝1；

②根據函數奇偶性的定義，可得f（x）是偶函數；

③根據函數的表達式，結合有理數和無理數的性質；

④取x1＝，x2＝0，x3＝，可得，，，三點恰好構成等邊三角形．

①∵當x為有理數時，f(x)＝1；當x為無理數時，f(x)＝0，

∴當x為有理數時，＝f(1)＝1；當x為無理數時，＝f(0)＝1，

即無論x是有理數還是無理數，均有＝1，故①正確；

②∵有理數的相反數還是有理數，無理數的相反數還是無理數，

∴對任意x∈R，都有，故②正確；

③若x是有理數，則x+T也是有理數； 若x是無理數，則x+T也是無理數，

∴根據函數的表達式，任取一個不為零的有理數T，對x∈R恒成立，故③正確；

④取x1＝，x2＝0，x3＝，可得，

∴，，，恰好△ABC為等邊三角形，故④正確．

即真命題的個數是4個，

故選：B．