若 x+2y+4z=1,則 x2+y2+z2的最小值是________.
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分析:x
2+y
2+z
2的值可看作空間中的點(diǎn)(x,y,z)到原點(diǎn)的距離,這樣的點(diǎn)在以原點(diǎn)為球心的球面上,x+2y+4z=1表示一個(gè)平面,x
2+y
2+z
2的最小值是球與此平面相切時(shí)切點(diǎn)與原點(diǎn)的距離平方,即原點(diǎn)到此平面的距離的平方,由此 x
2+y
2+z
2的最小值易求得
解答:由題意 x+2y+4z=1表示一個(gè)平面,x
2+y
2+z
2的值表示空間中的點(diǎn)(x,y,z)到原點(diǎn)的距離,這樣的點(diǎn)在以原點(diǎn)為球心的球面上,
∴x
2+y
2+z
2的最小值是球與此平面相切時(shí)切點(diǎn)與原點(diǎn)的距離平方,即原點(diǎn)到此平面的距離的平方,
又原點(diǎn)到平面x+2y+4z=1的距離是d=
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=
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綜上可得 x
2+y
2+z
2的最小值是
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故答案為:
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.
點(diǎn)評:本題考查空間中點(diǎn)的坐標(biāo),解題的關(guān)鍵是理解x+2y+4z=1,與 x
2+y
2+z
2的幾何意義,利用幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離求解,本題考查了數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想.