Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）+ x2﹣x，其中a為非零實(shí)數(shù)．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若y=f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求證： ＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ，x＞1，

當(dāng)a﹣1≥0即a≥1時(shí)f′（x）≥0，

∴f（x）在（﹣1，+∞）遞增，

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f′（x）=0，

∴x1=﹣ ＞﹣1，x2= ，

∴f（x）在（﹣1，﹣ ）遞增，在（﹣ ， ）遞減，在（ ，+∞）遞增，

當(dāng)a＜0時(shí)，∵x1＜﹣1，∴f（x）在（﹣1， ）遞減，在（ ，+∞）遞增

（2）證明：∵0＜a＜1且x1=﹣ ，x2= ，

∴x1+x2=0，x1x2=a﹣1且x2∈（0，1），

＜ ＜ f（x2）+ x2＞0

aln（x2+1）+ ﹣ x2＞0

（1+x2）ln（x2+1）﹣ x2＞0，

令g（x）=（1+x）ln（x+1）﹣ x，x∈（0，1），

∵g′（x）=ln（x+1）+ ＞0，

∴g（x）在（0，1）遞增，

∴g（x）＞g（0）=0，

∴命題得證

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）所證問題轉(zhuǎn)化為（1+x2）ln（x2+1）﹣ x2＞0，令g（x）=（1+x）ln（x+1）﹣ x，x∈（0，1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能得出正確答案．