Question

4．已知常數(shù) a、b 滿足 a＞1＞b＞0，若f（x）=lg（a^x-b^x），x∈（0，+∞）
（1）證明 y=f（x）在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)；
（2）若 f（x）恰在（1，+∞）內(nèi)取正值，且 f（2）=lg2，求 a、b 的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論進(jìn)行證明，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、題意進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和題意可得f（1）=0，結(jié)合f（2）=lg2列出方程，聯(lián)立后由條件求出a、b的值．

解答 證明：（1）任取0＜x₁＜x₂，
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=lg（{a}^{{x}_{1}}-^{{x}_{1}}）-lg（{a}^{{x}_{2}}-^{{x}_{2}}）$=$lg\frac{{{a^{x_1}}-{b^{x_1}}}}{{{a^{x_2}}-{b^{x_2}}}}$，
∵x₂＞x₁，a＞1＞b＞0，∴${a^{x_2}}-{a^{x_1}}＞0，{b^{x_1}}-{b^{x_2}}＞0$，
∴${a^{x_2}}-{b^{x_2}}-（{a^{x_1}}-{b^{x_1}}）={a^{x_2}}-{a^{x_1}}+{b^{x_1}}-{b^{x_2}}＞0$，
${a}^{{x}_{2}}-^{{x}_{2}}＞{a}^{{x}_{1}}-^{{x}_{1}}$，
∴$0＜\frac{{a}^{{x}_{1}}-^{{x}_{1}}}{{a}^{{x}_{2}}-^{{x}_{2}}}＜1$，則$lg\frac{{a}^{{x}_{1}}-^{{x}_{1}}}{{a}^{{x}_{2}}-^{{x}_{2}}}＜0$，
即f（x₁）＜f（x₂），函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)；
解：（2）由（1）可知：f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∵f（x）恰在（1，+∞）取正值，
∴f（1）=lg（a-b）=0，則a-b=1，①
∵f（2）=lg（a²-b²）=lg2，∴a²-b²=2，②
聯(lián)立①②和a＞1＞b＞0解得，
$a=\frac{3}{2}，b=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及方程思想，考查化簡(jiǎn)、變形能力．