已知冪函數(shù)為偶函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù)
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設(shè)函數(shù),其中a,b∈R.若函數(shù)g(x)僅在x=0處有極值,求a的取值范圍.
【答案】分析:(1)先根據(jù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)得出-m2+2m+3>0,據(jù)此求得m的值,從而得到函數(shù)f(x)的解析式.
(2)先求導(dǎo)數(shù):g'(x)=x(x2+3ax+9),為使g(x)僅在x=0處有極值,必須x2+3ax+9≥0恒成立,再利用二次函數(shù)的根的判斷式即可求得a的取值范圍.
解答:解:(1)∵f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),
∴-m2+2m+3>0即m2-2m-3<0∴-1<m<3,又m∈z,∴m=0,1,2
而m=0,2時,f(x)=x3不是偶函數(shù),m=1時,f(x)=x4是偶函數(shù),∴f(x)=x4
(2)g'(x)=x(x2+3ax+9),顯然x=0不是方程x2+3ax+9=0的根.
為使g(x)僅在x=0處有極值,必須x2+3ax+9≥0恒成立,
即有△=9a2-36≤0,解不等式,得a∈[-2,2].
這時,g(0)=-b是唯一極值.∴a∈[-2,2].
點(diǎn)評:本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,考查轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
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已知冪函數(shù)為偶函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)討論的奇偶性.

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已知函數(shù)已知冪函數(shù)為偶函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),又f(x)=sinx+mcosx,F(xiàn)(x)=f′(x)[f(x)+f′(x)]-1,f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).
(I)若,求F(x)的值;
(Ⅱ)把F(x)圖象的橫坐標(biāo)縮小為原來的一半后得到H(x),求H(x)的單調(diào)減區(qū)間.

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(2)設(shè)函數(shù),其中a,b∈R.若函數(shù)g(x)僅在x=0處有極值,求a的取值范圍.

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已知冪函數(shù)為偶函數(shù)且在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)。(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)討論函數(shù)的奇偶性。(10分)      

 

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