(本小題滿分12分)已知常數(shù)a > 0, n為正整數(shù)，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是關(guān)于x的函數(shù).(1) 判定函數(shù)f n ( x )的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.(2) 對任意n ?? a , 證明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n)

(Ⅰ) f n ( x )在（0，+∞）單調(diào)遞減  (Ⅱ) 略


解析:

： (1)  fn `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] ,

  ∵a > 0 , x > 0,  ∴ fn `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）單調(diào)遞減.      4分

（2）由上知：當x > a>0時, fn ( x ) = xn – ( x + a)n是關(guān)于x的減函數(shù),

∴ 當n ?? a時, 有：(n + 1 )n– ( n + 1 + a)n ?? n n – ( n + a)n.     2分

又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [xn  –( x+ a )n ] ,∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n  –( n + 1 + a )n ]

 < ( n + 1 )[ nn – ( n + a)n] =  ( n + 1 )[ nn – ( n + a )( n + a)n – 1 ]   2分

( n + 1 )fn`(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ],    2分

∵( n + a ) > n ∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n) . 2分

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（文） （本小題滿分12分已知函數(shù)y=4-2
3
sinx•cosx-2sin2x(x∈R)，
（1）求函數(shù)的值域和最小正周期；
（2）求函數(shù)的遞減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•自貢三模）（本小題滿分12分＞
設(shè)平面直角坐標中，O為原點，N為動點，|
ON
|=6，
ON
=
5
•
OM
．過點M作MM1丄y軸于M1，過N作NN1⊥x軸于點N1，
OT
=
M1M
+
N1N
，記點T的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程：
（H）已知直線L與雙曲線C：5x2-y2=36的右支相交于P、Q兩點（其中點P在第-象限）．線段OP交軌跡C于A，若
OP
=3
OA
，S△PAQ=-26tan∠PAQ求直線L的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）已知函數(shù)，且。①求的最大值及最小值；②求的在定義域上的單調(diào)區(qū)間.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009湖南卷文）（本小題滿分12分）

為拉動經(jīng)濟增長，某市決定新建一批重點工程，分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類，這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的、、.現(xiàn)有3名工人獨立地從中任選一個項目參與建設(shè).求：

（I）他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率；    w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（II）至少有1人選擇的項目屬于民生工程的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）

某民營企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖1，B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2，

（注：利潤與投資單位是萬元）

（1）分別將A，B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)，并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式.（2）該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入到A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤，其最大利潤為多少萬元.

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