Question

如圖所示，在Rt△ABC內(nèi)有一內(nèi)接正方形，它的一條邊在斜邊BC上，設(shè)AB=a，∠ABC=θ
（1）求△ABC的面積f（θ）與正方形面積g（θ）；
（2）當(dāng)θ變化時(shí)，求的最小值．

Answer 1

解：（1）由題得：AC=atanθ
∴f（θ）=a²tanθ（0＜θ＜）
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則BG=，由幾何關(guān)系知：∠AGD=θ
∴AG=xcosθ 由BG+AG=a??x=
∴g（θ）=（0＜θ＜）
（2）==1++ 令：t=sin2θ
∵0＜θ＜
∴t∈（0，1]∴y=1+=1+（t+）∵函數(shù)y=1+（t+）在（0，1]遞減
∴y_min=（當(dāng)且僅當(dāng)t=1即θ=時(shí)成立）
∴當(dāng)θ=時(shí)，的最小值為．
分析：（1）設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x，求出BG=，AC=atanθ，x，即可求出三角形ABC的面積f（θ）與正方形面積g（θ）；
（2）利用（1）推出的表達(dá)式，利用基本不等式，求出比值的最小值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的基本關(guān)系式，基本不等式的應(yīng)用，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．