Question

（本小題滿分12分）數(shù)列｛a_n｝滿足a₁=1,a_n=a_n-1+1　 (n≥２)

⑴　寫出數(shù)列｛a_n｝的前５項；

⑵　求數(shù)列｛a_n｝的通項公式。

 

Answer 1

【答案】

⑴ a₁=1 ,a₂=⑵ a_n=2。

【解析】本試題主要是考查了數(shù)列遞推關系求解數(shù)列的通項公式和前n項和。

（1）對于n令值，得到數(shù)列的前幾項的值。

（2）根據(jù)前幾項，歸納猜想，得到數(shù)列的通項公式，并運用數(shù)學歸納法加以證明。

解 ⑴ a₁=1 ,a₂=

（ 猜想   ｛a_n-2｝是等比數(shù)列 ）………4分

⑵ 解法一 由a_n=a_n-1+1　 (n≥２)  得a_n－2=(a_n-1－2)  ………7分

令 b_n= a_n－2  則b_n=b_n-1

又b₁=a₁－2=-1  故｛b_n｝是等比數(shù)列，首項－1，公比為，………9分

 b_n=  ………11分

于是 a_n=2………12分

解法二 設 a_n+k=h(a_n-1+k)其中k、h為待定系數(shù)。

將a_n=ha_n-1+kh-k  與  a_n=a_n-1+1  比較得  h= , k=－2

故a_n－2=(a_n-1－2)   (n≥２)       而  a₁－2=－1

數(shù)列｛a_n－2｝是以 為公比，－1首項的等比數(shù)列。

a_n－2=，   a_n=2。