【題目】設,函數(shù).
(1)若,求曲線在處的切線方程;
(2)若無零點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若有兩個相異零點, ,求證:
【答案】(1)(2)(3)見解析
【解析】試題分析:(1)根據(jù)導數(shù)幾何意義得切線斜率為,再根據(jù)點斜式求切線方程(2)由于無零點,且函數(shù)恒有負值,所以函數(shù)最大值必小于零,根據(jù)導數(shù)可得函數(shù)最值,即得實數(shù)的取值范圍;也可先變量分離,根據(jù)兩函數(shù)交點情況求實數(shù)的取值范圍(3)利用分析法證不等式,要證,只要證,根據(jù)零點條件可得,令,構造函數(shù), ,利用導數(shù)可得單調性,即得,逆推可得結論
試題解析:(1)函數(shù)的定義域為, ,
當時, ,則切線方程為,
即.
(2)①若時,則, 是區(qū)間上的增函數(shù),
∵, ,
∴,函數(shù)在區(qū)間有唯一零點;
②若, 有唯一零點;
③若,令,得,
在區(qū)間上, ,函數(shù)是增函數(shù);
在區(qū)間上, ,函數(shù)是減函數(shù);
故在區(qū)間上, 的極大值為,
由于無零點,須使,解得,
故所求實數(shù)的取值范圍是.
(3)要證,兩邊同時取自然對數(shù)得.
由得,得.
所以原命題等價于證明.
因為,故只需證,即.
令,則,設(),只需證.
而,故在單調遞增,所以.
綜上得.
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【題目】已知橢圓C:9x2+y2=m2(m>0),直線l不過原點O且不平行于坐標軸,l與C有兩個交點A,B,線段AB的中點為M.
(1)證明:直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值;
(2)若l過點( ,m),延長線段OM與C交于點P,四邊形OAPB能否為平行四邊形?若能,求此時l的斜率;若不能,說明理由.
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【題目】設函數(shù)
(Ⅰ)當(為自然對數(shù)的底數(shù))時,求的極小值;
(Ⅱ)若函數(shù)存在唯一零點,求的取值范圍.
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【題目】在等差數(shù)列{an}中,a2+a7=﹣23,a3+a8=﹣29. (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設數(shù)列{an+bn}是首項為1,公比為c的等比數(shù)列,求{bn}的前n項和Sn .
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【題目】下列命題中錯誤的個數(shù)為:( )
①y= 的圖象關于(0,0)對稱;
②y=x3+x+1的圖象關于(0,1)對稱;
③y= 的圖象關于直線x=0對稱;
④y=sinx+cosx的圖象關于直線x= 對稱.
A.0
B.1
C.2
D.3
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【題目】設函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),對任意x∈R,都有f(x)=f(x+4),且當x∈[﹣2,0]時,f(x)=( )x﹣1,若在區(qū)間(﹣2,6]內關于x的方程f(x)﹣loga(x+2)=0(a>1)恰有三個不同的實數(shù)根,則a的取值范圍是( )
A.( ,2)
B.( ,2)
C.[ ,2)
D.( ,2]
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【題目】某家庭進行理財投資,根據(jù)長期收益率市場預測,投資債券類穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比,投資股票類風險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術平方根成正比,已知兩類產(chǎn)品各投資1萬元時的收益分別為0.125萬元和0.5萬元,如圖:
(Ⅰ)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益y(萬元)與投資額x(萬元)的函數(shù)關系;
(Ⅱ)該家庭有20萬元資金,全部用于理財投資,問:怎么分配資金能使投資獲得最大收益,最大收益是多少萬元?
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