Question

已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，f（1）=0，當x＞0時，有

xf′(x)-f(x)

x2

＞0成立，則不等式f（x）＞0的解集是（　�。�

• A、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• B、（-1，0）
• C、（1，+∞）
• D、（-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：先根據[

f(x)

x

]′=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，判斷

f(x)

x

的單調性，進而分別看x＞1和0＜x＜1時f（x）與0的關系．再根據函數的奇偶性判斷-1＜x＜0和x＜-1時f（x）與0的關系，最后去x的并集即可得到答案．

解答： 解：∵[

f(x)

x

]′=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，
即x＞0時，

f(x)

x

是增函數
當x＞1時

f(x)

x

＞f（1）=0，f（x）＞0；
0＜x＜1時，

f(x)

x

＜f（1）=0，f（x）＜0．
又f（x）是奇函數，
所以-1＜x＜0時，f（x）=-f（-x）＞0；
x＜-1時f（x）=-f（-x）＜0．
則不等式f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）
故選：D．

點評：本題主要考查了函數單調性與奇偶性的應用．在判斷函數的單調性時，常可利用導函數來判斷．