Question

已知向量=（2，-1），=（sin，cos（B+C）），A、B、C為△ABC的內(nèi)角的內(nèi)角，其所對的邊分別為a，b，c
（1）當•取得最大值時，求角A的大��；
（2）在（1）的條件下，當a=時，求b²+c²的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由兩向量的坐標，利用平面向量的數(shù)量積運算列出關(guān)系式，利用誘導公式及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后得到關(guān)于sin的二次函數(shù)，由A的范圍求出的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出此時sin的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出•取得最大值時A的度數(shù)；
（2）由a及sinA的值，利用正弦定理表示出b與c，再利用三角形的內(nèi)角和定理用B表示出C，將表示出的b與c代入b²+c²中，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由B的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出此時正弦函數(shù)的值域，即可確定出b²+c²的取值范圍．
解答：解：（1）∵=（2，-1），=（sin，cos（B+C）），
∴•=2sin-cos（B+C）=2sin+cosA=2sin+（1-2sin²）=-2（sin-）²+，
∵0＜A＜π，∴0＜＜，
∴sin=，即A=時，•取得最大值；
（2）∵a=，sinA=，
∴由正弦定理====2，
∴b=2sinB，c=2sinC，
∵C=π-（A+B）=-B，
∴b²+c²=4sin²B+4sin²C=4sin²B+4sin²（-B）
=4[+]
=4（1-）
=4+sin2B-cos2B
=4+2sin（2B-），
∵0＜B＜，∴-＜2B-＜，
∴-＜sin（2B-）≤1，
∴3＜b²+c²≤6，
則b²+c²的取值范圍為（3，6]．
點評：此題考查了正弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，正弦函數(shù)的定義域與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的恒等變形，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．