已知x3+mx2-3x+n=0的三根的平方和為6,且有兩個(gè)相等的正根,求m、n.
【答案】
分析:由一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系,我們根據(jù)方程有兩個(gè)相等的正根,可將方程的三根設(shè)為α,β,β,且β>0,從而得到一個(gè)四元方程組,利用乘法公式處理后,即可得到m、n的值.
解答:解:設(shè)方程的三根為α,β,β,且β>0.
由根與系數(shù)的關(guān)系及題設(shè)有
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由(4)-2•(2)得α
2-αβ=12(5)
(1)式平方得α
2+4αβ+4β
2=m
2(6)
(5)+(6)得2α
2+4β
2=12+m
2.
由(4)得2•6=12+m
2,∴m=0.
由(1)得α+2β=0
∴α=-2β代入(4)式可得6β
2=6,β=1(∵β>0,∴β≠-1).
α=-2.由(3)n=-αβ
2=-(-2)•1=2.
故m=0,n=2.
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,一元n次方程根與系數(shù)的關(guān)系,難度系數(shù)較大,其中利用一元n次方程根與系數(shù)的關(guān)系,構(gòu)造四元方程組是解答的關(guān)鍵.