已知x3+mx2-3x+n=0的三根的平方和為6,且有兩個(gè)相等的正根,求m、n.
【答案】分析:由一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系,我們根據(jù)方程有兩個(gè)相等的正根,可將方程的三根設(shè)為α,β,β,且β>0,從而得到一個(gè)四元方程組,利用乘法公式處理后,即可得到m、n的值.
解答:解:設(shè)方程的三根為α,β,β,且β>0.
由根與系數(shù)的關(guān)系及題設(shè)有
由(4)-2•(2)得α2-αβ=12(5)
(1)式平方得α2+4αβ+4β2=m2(6)
(5)+(6)得2α2+4β2=12+m2
由(4)得2•6=12+m2,∴m=0.
由(1)得α+2β=0
∴α=-2β代入(4)式可得6β2=6,β=1(∵β>0,∴β≠-1).
α=-2.由(3)n=-αβ2=-(-2)•1=2.
故m=0,n=2.
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,一元n次方程根與系數(shù)的關(guān)系,難度系數(shù)較大,其中利用一元n次方程根與系數(shù)的關(guān)系,構(gòu)造四元方程組是解答的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=x3+mx2+x+5,存在實(shí)數(shù)xo使f′(xo)=0,又f(x)是R上的增函數(shù),則m的取值范圍是( �。�
A、(-∞,-
3
]∪[
3
,+∞)
B、{-
3
,
3
}
C、(-∞,-
3
)∪(
3
,+∞)
D、[-
3
,
3
]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知m∈R,設(shè)P:x1和x2是方程x2-ax-2=0的兩個(gè)實(shí)根,不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|對(duì)任意實(shí)數(shù)a∈[-1,1]恒成立.Q:函數(shù)f(x)=x3+mx2+(m+
43
)x+6
在(-∞,+∞)上有極值.求使P正確且Q正確的m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在極大值又存在極小值,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
m<-3或m>6
m<-3或m>6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3+mx2+nx有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)α,β,設(shè)f(x)在點(diǎn)(-1,f(-1))處的切線為l1,其斜率為k1;在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為l2,其斜率為k2
(1)若m=1,n=-1,當(dāng)t∈(-1,1)時(shí),求函數(shù)f(x)在x∈[t,1]上的最小值;
(2)若k1=-
1
2
,|α-β|=
10
3
,求m,n;
(3)若α,β∈(-1,1),求k1•k2可能取到的最大整數(shù)值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=x3+mx2-nx(m,n為實(shí)數(shù)).
(1)若x=1是函數(shù)y=g(x)的一個(gè)極值點(diǎn),求m與n的關(guān)系式;
(2)在(1)的條件下,求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)若關(guān)于x的不等式2f(x)≤g'(x)+1+n的解集為P,且(0,+∞)⊆P,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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