Question

已知△ABC是銳角三角形，且sin（B-

π

6

）cos（B-

π

3

）=

1

2

．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若tanAtanC=3，求A、C的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專(zhuān)題：解三角形

分析：（Ⅰ）通過(guò)兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)已知表達(dá)式，通過(guò)三角形是銳角三角形，即可求角B的值；
（Ⅱ）利用第一問(wèn)的結(jié)果，以及三角形是銳角三角形，通過(guò)兩角和的正切函數(shù)，推出tanA、tanC的方程，結(jié)合tanAtanC=3，即可求出A、C的正切值，然后求出角A、C．

解答： 解：（Ⅰ）∵sin（B-

π

6

）cos（B-

π

3

）
=(

3

2

sinB-

1

2

cosB)(

1

2

cosB+

3

2

sinB)
=

3

4

sin2B-

1

4

cos2B
=sin2B-

1

4

=

1

2

，
又∵△ABC是銳角三角形，
∴sinB=

3

2

．
∴B=

π

3

，
角B的值為

π

3

；
（Ⅱ）∵B=

π

3

，∴A+C=

2π

3

，
∵△ABC是銳角三角形，
∴tanA＞0，tanC＞0，
∴tan（A+C）=

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-

3

∴tanA+tanC=

3

tanAtanC-

3

=2

3

…①，
∵tanAtanC=3…②，
解①②得tanA=tanC=

3

，∴A=C=

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查．注意三角形的特征是解題的關(guān)鍵．