Question

已知拋物線y²=2x上兩個動點(diǎn)B、C和點(diǎn)A（2，2）且•=0，則動直線BC必過定點(diǎn)

1. A.
   （2，4）
2. B.
   （-2，4）
3. C.
   （4，-2）
4. D.
   5，2）

Answer 1

C
分析：先設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去x，利用韋達(dá)定理表示出 y₁+y₂和 y₁y₂，進(jìn)而根據(jù)直線方程，求得x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)•=0，利用向量的計算法則，求得k（4-p）=-2，故進(jìn)而可推斷出直線過定點(diǎn)．
解答：假設(shè)直線BC為：y=k（x-p）
代入y²=2x有：
ky²-2y-2kp=0；
則 y₁+y₂=；y₁y₂=-2p；
∴x₁+x₂=（y₁²+y₂²）=+4p；
x₁x₂=p²；
•=（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-2）（y₂-2）=0將上邊的式子代入 得：
．p-3=+1 得：k（4-p）=-2，故BC過（4，-2）定點(diǎn)．
2.3-p=+1； 得：k（2-p）=2；有（2，2）點(diǎn)，舍去．
故AB過（4，-2）定點(diǎn)．
故選C
點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．