如圖1：正方形ABCD的邊長為1，E、F分別是邊AB、BC的中點，沿DE、EF、FD將△DAE、△EBF、△FCD折起來，使A、B、C三點重合于點S（如圖2），構(gòu)成三棱錐S-DEF．
（1）證明：DS⊥面SEF
（2）求三棱錐S-DEF的體積；
（3）求異面直線SF與DE所成的角．

解：（1）證明：在三棱錐S-DEF中，由已知得，
DS⊥SE，DS⊥SF，
而SE∩SF=S，SE、SF?面DEF，
則DS⊥面DEF．
（2）由于DS=DA=1，
S△SEF=S△BEF=，
則VS-DEF=
（3）SF⊥SE，SF⊥SD，而SE∩SD=S，
SE、SD?面SDE，則SF⊥面SDE．
∵DE?面SDE，
∴SF⊥DE．則異面直線SF與DE所成的角為90°．
分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和折疊前后變與不變的量，得到有兩條邊與DS垂直，根據(jù)線與面垂直的判斷，得到結(jié)論．
（2）要求三棱錐的體積先找出可以應用的底面和對應的高，這里選擇三角形SEF做底面，得到結(jié)果．
（3）要求異面直線所成的角，根據(jù)可以做出SF⊥面SDE，得到兩條異面直線是垂直關(guān)系，這樣得到角是90°．
點評：本題考查直線與平面之間的關(guān)系，題目中所用的條件比較特殊，第三問只要看出兩條線之間的垂直關(guān)系就可以．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖1所示，在邊長為12的正方形ADD1A1中，點B，C在線段AD上，且AB=3，BC=4，作BB1∥AA1，分別交A1D1，AD1于點B1，P，作CC1∥AA1，分別交A1D1，AD1于點C1，Q，將該正方形沿BB1，CC1折疊，使得DD1與AA1重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C1．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面BCC1B1；
（Ⅱ）求四棱錐A-BCQP的體積；
（Ⅲ）求平面PQA與平面BCA所成銳二面角的余弦值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

19、如圖1，在邊長為12的正方形AA′A′1A1中，BB1∥CC1∥AA1，且AB=3，BC=4，AA′1分別交BB1，CC1于點P、Q，將該正方形沿BB1、CC1折疊，使得A′A′1與AA1重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C1，請在圖2中解決下列問題：
（1）求證：AB⊥PQ；
（2）在底邊AC上有一點M，滿足AM；MC=3：4，求證：BM∥平面APQ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）如圖1，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中點．求證：AE⊥PD．
（2）如圖2，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4．求證：平面BDE⊥平面BEC．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖1所示，在邊長為12的正方形ADD1A1中，點B，C在線段AD上，且AB=3，BC=4，作BB1∥AA1，分別交A1D1，AD1于點B1，P，作CC1∥AA1，分別交A1D1，AD1于點C1，Q，將該正方形沿BB1，CC1折疊，使得DD1與AA1重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C1．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面BCC1B1；
（Ⅱ）求四棱錐A-BCQP的體積；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•青島二模）如圖，在多面體ABC-A1B1C1中，四邊形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，A1C=A1B，B1C1∥BC，B1C1=
12
BC．
（Ⅰ）求證：面A1AC⊥面ABC；
（Ⅱ）求證：AB1∥面A1C1C．

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