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15.如圖所示,設(shè)a、b為異面直線,AB⊥a于A,AB⊥b于B
(1)如圖1,α為平面,若a∥α,b∥α.求證:AB⊥α;
(2)如圖2,若a⊥α,b⊥β.α∩β=c.求證:AB∥c

分析 (1)在α內(nèi)構(gòu)造分別于a,b平行的直線a',b',只需證明a',b'是相交直線即可;
(2)設(shè)b與β的交點為N,過B作α的垂線BM,利用線面垂直的性質(zhì)即可得出a∥BM,故而AB⊥平面BMN,由線面垂直的性質(zhì)可得c⊥b,c⊥BM,故而c⊥平面BMN,于是c∥AB.

解答 證明:(1)∵a∥α,b∥α,
∴存在a'?α,b'?α,使得a∥a',b∥b'.
∵若a'∥b',則a∥b,與a、b為異面直線相矛盾,
∴a',b'為相交直線.
∵AB⊥a,AB⊥b,
∴AB⊥a',AB⊥b'.
∴AB⊥α.
(2)設(shè)b與平面β的垂足為N,過B作BM⊥α,垂足為M,
∵a⊥α,BM⊥α,
∴a∥BM,∵AB⊥a,
∴AB⊥BM,又∵AB⊥b,b∩BM=B,
∴AB⊥平面BMN.
∵BM⊥α,b⊥β,α∩β=c,
∴BM⊥c,b⊥c,又b∩BM=B,
∴c⊥平面BMN,
∴AB∥c.

點評 本題考查了線面平行的性質(zhì)與判定,構(gòu)造直線是解決問題的關(guān)鍵之處.

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