Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n²+pn+q（p，q∈R），且a₂，a₃，a₅成等比數(shù)列．
（1）求p，q的值；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足a_n+log₂n=log₂b_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：解法一：
（1）a₁=S₁=1+p+q，a_n=S_n-S_n-1=2n-1+p，由此求出q=0，由a₂，a₃，a₅成等比數(shù)列，得p=-1．
（2）a_n=2n-2，bn=n•2an=n•22n-2=n•4n-1，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．解法二：
（1）由Sn=n2+pn+q，得d=2，p=a₁-1，q=0．由a₂，a₃，a₅成等比數(shù)列，得p=-1．
（2）a_n=2n-2.bn=n•2an=n•22n-2=n•4n-1，由x+x2+x3+…+xn=

x-xn+1

1-x

(x≠1)，兩邊對x取導(dǎo)數(shù)得，由此能求出Tn=

1

9

[(3n-1)•4n+1]．

解答： （本小題滿分14分）
解法一：
（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1+p+q，…（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1…（2分）
=n²+pn+q-[（n-1）²+p（n-1）+q]
=2n-1+p．…（3分）
∵{a_n}是等差數(shù)列，
∴1+p+q=2×1-1+p，得q=0．…（4分）
又a₂=3+p，a₃=5+p，a₅=9+p，…（5分）
∵a₂，a₃，a₅成等比數(shù)列，
∴

a

2 3

=a2

a

5

，即（5+p）²=（3+p）（9+p），…（6分）
解得p=-1．…（7分）
（2）解：由（1）得a_n=2n-2．…（8分）
∵a_n+log₂n=log₂b_n，
∴bn=n•2an=n•22n-2=n•4n-1．…（9分）
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n-1+b_n
=4⁰+2×4¹+3×4²+…+（n-1）•4^n-2+n•4^n-1，①…（10分）
4Tn=41+2×42+3×43+…+(n-1)•4n-1+n•4n，②…（11分）
①-②得-3Tn=40+41+42+…+4n-1-n•4n=

1-4n

1-4

-n•4n=

(1-3n)•4n-1

3

．…（13分）
∴Tn=

1

9

[(3n-1)•4n+1]．…（14分）
解法二：
（1）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則Sn=na1+

n(n-1)

2

d=

d

2

n2+(a1-

d

2

)n．…（1分）
∵Sn=n2+pn+q，
∴

d

2

=1，a1-

d

2

=p，q=0．…（4分）
∴d=2，p=a₁-1，q=0．
∵a₂，a₃，a₅成等比數(shù)列，
∴

a

2 3

=a2

a

5

，…（5分）
即(a1+4)2=(a1+2)(a1+8)．
解得a₁=0．…（6分）
∴p=-1．…（7分）
（2）解：由（1）得a_n=2n-2．…（8分）
∵a_n+log₂n=log₂b_n，
∴bn=n•2an=n•22n-2=n•4n-1．…（9分）
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n-1+b_n
=4⁰+2×4¹+3×4²+…+（n-1）•4^n-2+n•4^n-1．…（10分）
由x+x2+x3+…+xn=

x-xn+1

1-x

(x≠1)，…（11分）
兩邊對x取導(dǎo)數(shù)得，
x⁰+2x¹+3x²+…+nx^n-1=

nxn+1-(n+1)xn+1

(1-x)2

．…（12分）
令x=4，得40+2×41+3×42+…+(n-1)•4n-2+n•4n-1=

1

9

[(3n-1)•4n+1]．
∴Tn=

1

9

[(3n-1)•4n+1]．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查實(shí)數(shù)的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要注意審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．