Question

已知函數(shù)f(x)=

ax

x2+b

在x=1處取得極值2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，2m+1）上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意對函數(shù)求導(dǎo)，然后利用極值的概念列出a，b的方程，在求解即可
（II）由題意應(yīng)該先求具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用已知的條件及集合的思想，建立的m取值范圍的不等式組求解即可

解答：解：求導(dǎo)，f′(x)=

a(x2+b)-ax•2x

(x2+b)2

=

a(-x2+b)

(x2+b)2

，
又f（x）在x=1處取得極值2，
所以

f′(1)=0 f(1)=2

即

a(b-1) (b+1)2 =0 a b+1 =2

，
解得

a=4 b=1

所以f(x)=

4x

x2+1

．
（Ⅱ）因為f′(x)=

-4(x+1)(x-1)

(x2+1)2

，
又f（x）的定義域是R，所以由f'（x）＞0，
得-1＜x＜1．所以f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，
在（-∞，-1]和[1，+∞）上單調(diào)遞減．
    （1） 當f（x）在區(qū)間（m，2m+1）上單調(diào)遞增，
則

m≥-1 2m+1≤1 2m+1＞m

解得-1＜m≤0；
    （2）當f（x）在區(qū)間（m，2m+1）上單調(diào)遞減，
則

2m+1≤-1 2m+1＞m

或

m≥1 2m+1＞m

解得m≥1．
綜上，實數(shù)m的取值范圍是-1＜m≤0或m≥1．

點評：（I）考查了函數(shù)的求導(dǎo)及極值的概念，還考查了利用方程求解的思想．
（II）考查了利用導(dǎo)函數(shù)函數(shù)求其單調(diào)區(qū)間，及由題意把所求問題等價轉(zhuǎn)化為集合中兩個集合子集的關(guān)系，還考查了數(shù)學(xué)中常用的分類討論的思想．