Question

已知橢圓C：，的離心率為，A、B分別為橢圓的長軸和短軸的端點，M為AB的中點，O為坐標原點，且．
（I）求橢圓的方程；
（II）過（-1，0）的直線l與橢圓交于P、Q兩點，求△POQ的面積的最大時直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據離心率為，，建立方程組，求得橢圓的基本量，從而可得橢圓的方程；
（Ⅱ）方法一：設交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分類討論，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，表示出△POQ的面積，利用基本不等式求得結論．
方法二：設交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分類討論，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x，表示出△POQ的面積，利用基本不等式求得結論．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為c，則，解得，
所以橢圓的方程為．…（4分）
（Ⅱ）方法一：設交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=-1，則…（6分）
當直線l的斜率存在時，設其方程為y=k（x+1）（k≠0），聯(lián)立橢圓方程，
得（4k²+1）x²+8k²x+4（k²-1）=0，兩個根為x₁，x₂，，…（7分）
則（k≠0），
又原點到直線l的距離d=，…（8分）
所以（k≠0）
=…（11分）
所以，當直線l的方程為x=-1時，△POQ面積最大．…（12分）
方法二：設交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=-1，則．…（6分）
當直線l的斜率存在時，設其方程為y=k（x+1）（k≠0），聯(lián)立橢圓方程，得，兩個根為y₁，y₂，△＞0恒成立，，…（7分）…（8分）
∴
=…（11分）
所以，當直線l的方程為x=-1時，△POQ面積最大．…（12分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，正確表示三角形的面積是關鍵．