(07年天津卷文)(14分)
設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為
是橢圓上的一點(diǎn),
,原點(diǎn)
到直線
的距離為
.
(Ⅰ)證明;
(Ⅱ)求使得下述命題成立:設(shè)圓
上任意點(diǎn)
處的切線交橢圓于
,
兩點(diǎn),則
.
本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、兩條直線垂直、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法及推理、運(yùn)算能力.
解析:(Ⅰ)證法一:由題設(shè)及
,
,不妨設(shè)點(diǎn)
,其中
,由于點(diǎn)
在橢圓上,有
,
,
解得,從而得到
,
直線的方程為
,整理得
.
由題設(shè),原點(diǎn)到直線
的距離為
,即
,
將代入原式并化簡(jiǎn)得
,即
.
證法二:同證法一,得到點(diǎn)的坐標(biāo)為
,過(guò)點(diǎn)
作
,垂足為
,
易知,故
由橢圓定義得,又
,所以
,
解得,而
,得
,即
.
(Ⅱ)解法一:圓上的任意點(diǎn)
處的切線方程為
.
當(dāng)時(shí),圓
上的任意點(diǎn)都在橢圓內(nèi),故此圓在點(diǎn)
處的切線必交橢圓于兩個(gè)不同的點(diǎn)
和
,因此點(diǎn)
,
的坐標(biāo)是方程組
的解.當(dāng)
時(shí),由①式得
代入②式,得,即
,
于是,
.
若,則
.
所以,.由
,得
.在區(qū)間
內(nèi)此方程的解為
.
當(dāng)時(shí),必有
,同理求得在區(qū)間
內(nèi)的解為
.
另一方面,當(dāng)時(shí),可推出
,從而
.
綜上所述,使得所述命題成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(07年天津卷文)設(shè)函數(shù),則
( )
A.在區(qū)間上是增函數(shù) B.在區(qū)間
上是減函數(shù)
C.在區(qū)間上是增函數(shù) D.在區(qū)間
上是減函數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(07年天津卷文)設(shè)是定義在
上的奇函數(shù),且當(dāng)
時(shí),
,若對(duì)任意的
,不等式
恒成立,則實(shí)數(shù)
的取值范圍是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(07年天津卷文)(14分)
設(shè)函數(shù)(
),其中
.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線
在點(diǎn)
處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的極大值和極小值;
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),證明存在
,使得不等式
對(duì)任意的
恒成立.
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