Question

等比數(shù)列{a_n}中，a₂=1+cosα，a₃=

cos2α+4cosα+3

2

，90°＜α＜180°
（1）1+3cosα+3cos²α+cos³α是數(shù)列中的第幾項(xiàng)？
（2）若tan（180°-α）=

4

3

，求數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公比q=1+cosα，由1+3cosα+3cos²α+cos²α=（1+cosα）³，
得1+3cosα+3cos²α+cos³α是數(shù)列中的第4項(xiàng)．
（2）由tan（180°-α）=-tanα=

4

3

，90°＜α＜180°，得a₁=1，q=

2

5

，由此能求出數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的和．

解答： 解：（1）∵等比數(shù)列{a_n}中，90°＜α＜180°，
a₂=1+cosα，a₃=

cos2α+4cosα+3

2

=

2cos2α+4cosα+2

2

=（1+cosα）²，
∴等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公比q=1+cosα，
∴a_n=（1+cosα）^n-1．
∵1+3cosα+3cos²α+cos³α=（1+cosα）³，
∴1+3cosα+3cos²α+cos³α是數(shù)列中的第4項(xiàng)．
（2）∵tan（180°-α）=-tanα=

4

3

，90°＜α＜180°，
∴1+cosα=1-

3

5

=

2

5

，
∴a₁=1，q=

2

5

，
∴數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的和T_n=

1-( 2 5 )n

1- 2 5

=

5

3

-

5

3

•(

2

5

)n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列中某一項(xiàng)的判斷，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．