Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）數(shù)列滿足：，且,記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，

且.

（ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；并判斷是否仍為數(shù)列中的項(xiàng)？若是，請(qǐng)證明；否則，說明理由.

（ⅱ）設(shè)為首項(xiàng)是,公差的等差數(shù)列，求證：“數(shù)列中任意不同兩項(xiàng)之和仍為數(shù)列中的項(xiàng)”的充要條件是“存在整數(shù)，使”

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí), 遞增區(qū)間為

（Ⅱ）（ⅰ）,不在數(shù)列中

（ⅱ）數(shù)列中任意不同兩項(xiàng)之和仍為數(shù)列中的項(xiàng)的充要條件是存在整數(shù)，使

【解析】（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052408270551568979/SYS201205240828409531632287_DA.files/image013.png">，所以. 

（i）當(dāng)時(shí)，.

（ii）當(dāng)時(shí)，由，得到，知在上.

（iii）當(dāng)時(shí)，由，得到，知在上.

綜上，當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí), 遞增區(qū)間為.  

（Ⅱ）（i）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052408270551568979/SYS201205240828409531632287_DA.files/image021.png">，所以，即，

，即.     ……………………………………（6分）

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052408270551568979/SYS201205240828409531632287_DA.files/image026.png">，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以.又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052408270551568979/SYS201205240828409531632287_DA.files/image031.png">，

所以令，則

得到與矛盾，所以不在數(shù)列中.    ………（9分）

（ii）充分性：若存在整數(shù)，使.設(shè)為數(shù)列中不同的兩項(xiàng)，則.

又且,所以.即是數(shù)列的第項(xiàng).

必要性：若數(shù)列中任意不同兩項(xiàng)之和仍為數(shù)列中的項(xiàng)，

則，，（，為互不相同的正整數(shù)）

則，令，

得到 ，

所以，令整數(shù)，所以.　……（11 分）

下證整數(shù).若設(shè)整數(shù)則.令，

由題設(shè)取使

即，所以

即與相矛盾，所以.

綜上, 數(shù)列中任意不同兩項(xiàng)之和仍為數(shù)列中的項(xiàng)的充要條件是存在整數(shù)，使