Question

巳知函數(shù)f（x）=|x-1|+|2x+3|，x∈R
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值m；
（Ⅱ）若a，b，c∈R，且a⁴+b⁴+c⁴=m，求a²+2b²+3c²的最大值．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,分段函數(shù)的應用,二維形式的柯西不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）化簡函數(shù)函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，求得函數(shù)取得最小值m．
（Ⅱ）由a⁴+b⁴+c⁴=m，可得（a⁴+b⁴+c⁴）（1²+2²+3²）=14m，再利用柯西不等式求得a²+2b²+3c² 的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=|x-1|+|2x+3|=

-3x-2  ，x＜- 3 2 x+4  ，- 3 2 ≤x＜1 3x+2  ，x≥1

，∴根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，當x=-

3

2

時，函數(shù)取得最小值m=

5

2

．
（Ⅱ）∵a⁴+b⁴+c⁴=m，∴（a⁴+b⁴+c⁴）（1²+2²+3²）=14m，
再利用柯西不等式可得 14m≥（1×a²+2×b²+3×c²）²，∴a²+2b²+3c² ≤

14m

，∴a²+2b²+3c²的最大值為

14m

．

點評：本題主要考查帶由絕對值的函數(shù)，絕對值不等式的解法，柯西不等式的應用，屬于中檔題．