如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E為PD的中點(diǎn)．

(1)求直線AC與PB所成角的余弦值；

(2)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE⊥平面PAC，并分別求出點(diǎn)N到AB和AP的距離．

答案：
解析：

　　解：方法一　(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

　　則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)為A(0，0，0)，B(，0，0)、C(，1，0)、D(0，1，0)、P(0，0，2)、E(0，，1)，從而＝(，1，0)，＝(，0，－2)．

　　設(shè)與的夾角為，則cos＝＝＝，

　　∴AC與PB所成角的余弦值為　7分

　　(2)由于N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(x，0，z)，則＝(－x，，1－z)，由NE⊥平面PAC可得

　　，即，化簡(jiǎn)得，∴

　　即N點(diǎn)的坐標(biāo)為(，0，1)，

　　從而N點(diǎn)到AB、AP的距離分別為1，　14分

　　方法二　(1)設(shè)AC∩BD＝O，

　　連接OE，AE，BD，則OE∥PB，

　　∴∠EOA即為AC與PB所成的角或其補(bǔ)角．

　　在△AOE中，AO＝1，OE＝PB＝，AE＝PD＝，

　　∴由余弦定理得cos∠EOA＝，

　　即AC與PB所成角的余弦值為．

　　(2)在平面ABCD內(nèi)過D作AC的垂線交AB于F，則∠ADF＝．連接PF，則在Rt△ADF中，DF＝＝，AF＝AD·tan∠ADF＝．

　　設(shè)N為PF的中點(diǎn)，連接NE，則NE∥DF．

　　∵DF⊥AC，DF⊥PA，

　　∴DF⊥平面PAC，從而NE⊥平面PAC．

　　∴N點(diǎn)到AB的距離為AP＝1，N點(diǎn)到AP的距離為AF＝．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，M為PC上一點(diǎn)，且PA∥平面BDM．
（1）求證：M為PC中點(diǎn)；
（2）求平面ABCD與平面PBC所成的銳二面角的大�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，點(diǎn)M在PB上，PB=4PM，PB與平面ABCD成30°的角．
（1）求證：CM∥平面PAD；
（2）點(diǎn)C到平面PAD的距離．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•廣東）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC⊥平面BDE．
（1）證明：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E為PC的中點(diǎn)．
求證：
（1）PA∥平面BDE；
（2）AC⊥平面PBD．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，M為PD上的點(diǎn)，若PD⊥平面MAB
（I）求證：M為PD的中點(diǎn)；
（II）求二面角A-BM-C的大�。�

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案