Question

設(shè)拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，經(jīng)過點F的直線與拋物線交于A、B兩點
（1）若直線AB斜率為1，且|AB|=4，求p；
（2）若p=2，求線段AB中點G的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線的斜率

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)直線AB：y=x-

p

2

，代入y²=2px消去y，得x²-3px

p2

4

=0，運用韋達定理和拋物線的定義，即可求出p，從而得到方程；
（2）先由拋物線的方程得到其焦點坐標(biāo)，設(shè)A（x₀，y₀），M（x，y），利用中點坐標(biāo)公式得

x0=2x-1 y0=2y

，最后根據(jù)拋物線方程消去參數(shù)x₀，y₀，即得線段AF中點M的軌跡方程．

解答： 解：（1）由拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為（

p

2

，0），
設(shè)直線AB：y=x-

p

2

，代入y²=2px消去y，得x²-3px

p2

4

=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=3p，
由拋物線的定義得，|AB|=x₁+x₂+p=4p，
又|AB|=4，則p=1，
即拋物線方程是y²=2x；
（2）設(shè)A（x₀，y₀），M（x，y），焦點F（1，0），
則由題意

x0=2x-1 y0=2y

所求的軌跡方程為4y²=4（2x-1），即y²=2x-1．

點評：本題考查拋物線的方程、定義和性質(zhì)，考查軌跡方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．