Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為單位圓C₂：x²+y²=1的直徑，且橢圓的離心率為

6

3

．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓短軸的上頂點B₁作直線分別與單位圓C₂和橢圓C₁交于A，B兩點（A，B兩點均在y軸的右側(cè)），設(shè)B₂為橢圓的短軸的下頂點，求∠AB₂B的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為單位圓C₂：x²+y²=1的直徑，且橢圓的離心率為

6

3

，求出b，a，即可求橢圓的方程；
（2）設(shè)過橢圓的短軸的上頂點B₁的直線的方程為y=kx+1，代入C₁得B的坐標，確定直線B₂A的斜率、直線B₂B的斜率的關(guān)系，利用向量的數(shù)量積公式，求出cos∠AB₂B，利用基本不等式，即可求∠AB₂B的最大值．

解答： 解：（1）由題意知b=1，又e=

c

a

=

a2-1

a

=

6

3

，解得a²=3，
所以橢圓的方程為

x2

3

+y2=1．…（7分）
（2）由（1）得B₁（0，1），B₂（0，-1），設(shè)過橢圓的短軸的上頂點B₁的直線的方程為y=kx+1，
由于B₁B₂為圓的直徑，所以直線B₂A的斜率k1=-

1

k

．
把y=kx+1代入C₁得B(-

6k

1+3k2

，

1-3k2

1+3k2

)，
由題意易知k＜0，且直線B₂B的斜率為k2=

1-3k2 1+3k2 +1

-6k 1+3k2

=-

1

3k

，
所以k₁，k₂＞0，且k₁=3k₂，…（10分）
又在△B₂AB是直角三角形，所以∠AB₂B必為銳角．
因為

B2A

與

B2B

的方向向量分別為（1，k₁），（1，k₂），
所以

B2A

•

B2B

=(1，k1)•(1，k2)=1+3

k

2 2

，
又

B2A

•

B2B

=

1+ k 2 1

•

1+ k 2 2

cos∠AB2B，從而cos∠AB2B=

1+3 k 2 2

1+9 k 2 2 • 1+ k 2 2

…（12分）
=

1- 4 k 2 2 1+10 k 2 2 +9 k 4 2

=

1- 4 1 k 2 2 +9 k 2 2 +10

≥

3

2

，
當且僅當k2=

3

3

時，cos∠AB₂B取得最小值

3

2

，
由∠AB₂B為銳角得∠AB₂B的最大值為

π

6

．…（15分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積公式，考查基本不等式的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．