已知函數(shù)f（x）=x3-ax2+3x，a∈R，
（1）若x=3是f（x）的極值點，求f（x）在x∈[1，5]上的最大值；（2）若函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

解：（1）由題意知f'（x）=3x2-2ax+3=0的一個根為x=3，從而f′（3）=0，解得a=5，所以f'（x）=3x2-10x+3=0的另一個根為，函數(shù)在（1，3）上為減函數(shù)，（3，5）上為增函數(shù)，從而可知當x=5時，f（x）在x∈[1，5]上的最大值
是15
（2）函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)轉(zhuǎn)化為3x2-2ax+3≥0在R內(nèi)恒成立，
從而有f'（x）=3x2-10x+3=0的△≤0，解得a∈[-3，3]．
分析：（1）由題意知f'（x）=3x2-2ax+3=0的一個根為x=3，把這個根代入得到字母系數(shù)的值，求出a=5，再求出函數(shù)的極值，把極值同兩個端點的值進行比較得到最值．（2）對函數(shù)求導，要f（x）在R上是增函數(shù)，則有3x2-2ax+3≥0在R內(nèi)恒成立，問題轉(zhuǎn)化成恒成立問題，根據(jù)基本不等式得到結(jié)果．
點評：本題考查導數(shù)的應(yīng)用，求極值和求最值，考查學生等價轉(zhuǎn)化問題的能力．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設(shè)曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設(shè)g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設(shè)h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設(shè)曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設(shè)g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設(shè)h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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