如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，D是CC1的中點，F(xiàn)是A1B的中點．
（1）求證：DF∥平面ABC；
（2）求證：AF⊥BD．
分析：（1）取AB中點E，連接CE，證明EFDC是平行四邊形，可得DF∥CE，利用線面平行的判定可得結(jié)論；
（2）證明AF⊥DF，AF⊥A1B，利用線面垂直的判定定理可得AF⊥平面A1BD，從而可得結(jié)論．
解答：證明：（1）取AB中點E，連接CE，則
∵F是A1B的中點，
∴EF∥AA1，EF=
1
2
AA1
∵D是CC1的中點，∴EF∥CD，EF=CD
∴EFDC是平行四邊形
∴DF∥CE
∵DF?平面ABC，CE?平面ABC，
∴DF∥平面ABC；
（2）∵ABC-A1B1C1是正三棱柱，E是AB中點
∴CE⊥平面A1AB，∴CE⊥AF，
∵DF∥CE，
∴AF⊥DF
∵AB=AA1，F(xiàn)是A1B的中點，∴AF⊥A1B
∵A1B∩DF=F
∴AF⊥平面A1BD
∵BD?平面A1BD
∴AF⊥BD
點評：本題考查線面平行的判定，考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，若二面角C-AB-C1的大小為60°，則點C到平面C1AB的距離為（　�。�
A、
3
4
B、
1
2
C、
3
2
D、1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD與平面AA1CC1所成的角為a，則sina=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E、G分別是AB、BB1、AC1的中點，AB=BB1=2．
（Ⅰ）在棱B1C1上是否存在點F使GF∥DE？如果存在，試確定它的位置；如果不存在，請說明理由；
（Ⅱ）求截面DEG與底面ABC所成銳二面角的正切值；
（Ⅲ）求B1到截面DEG的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=4，AB=2，M是AC的中點，點N在AA1上，AN=
14
．
（Ⅰ）求BC1與側(cè)面ACC1A1所成角的大��；
（Ⅱ）求二面角C1-BM-C的正切值；
（Ⅲ）證明MN⊥BC1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•馬鞍山二模）如圖，在正三棱柱ABC一DEF中，AB=2，AD=1，P是CF的延長線上一點，過A、B、P三點的平面交FD于M，交EF于N．
（I）求證：MN∥平面CDE：
（II）當平面PAB⊥平面CDE時，求三梭臺MNF-ABC的體積．

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