Question

16．已知f（x）=2xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問(wèn)題等價(jià)于a≥（2ln x+x+$\frac{3}{x}$）_min，記h（x）=2ln x+x+$\frac{3}{x}$，x∈（0，+∞），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=2（ln x+1），
令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{e}$，當(dāng)x∈時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈時(shí)，f′（x）＞0，
所以f（x）在$\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\frac{1}{e}））$上單調(diào)遞減；在$\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\frac{1}{e}，+∞））$上單調(diào)遞增．
（2）存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，
即2xln x≤-x²+ax-3在x∈（0，+∞）能成立，
等價(jià)于a≥2ln x+x+$\frac{3}{x}$在x∈（0，+∞）能成立，
等價(jià)于a≥（2ln x+x+$\frac{3}{x}$）_min．
記h（x）=2ln x+x+$\frac{3}{x}$，x∈（0，+∞），
則h′（x）=$\frac{2}{x}$+1-$\frac{3}{x2}$=$\frac{x2+2x-3}{x2}$=$\frac{?x+3??x-1?}{x2}$．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＜0，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，
所以當(dāng)x=1時(shí)，h（x）取最小值為4，故a≥4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．