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10.在平面直角坐標系中,已知動點T到點A(-4,0),B(-1,0)的距離比為2.
(1)求動點T的軌跡方程Γ;
(2)已知點P是直線l:y=x與曲線Γ在第一象限內(nèi)的交點,過點P引兩條直線分別交曲線Γ于Q,R,且直線PQ,PR的傾斜角互補,試判斷直線QR的斜率是否為定值,若是定值,請求出這個定值;若不是,請說明理由.

分析 (1)設T(x,y),由題意知:|TA|=2|TB|,由此即可求得曲線C的方程;
(2)確定Q,R的坐標,從而可得直線QR的斜率.

解答 解:(1)設T(x,y),由題意知:|TA|=2|TB|.
x+42+y2=2x+12+y2,化簡得x2+y2=4,即為動點T的軌跡方程.
(2)直線QR的斜率為定值1.證明過程如下:
當x=y時,代入x2+y2=4,得P(22)(第一象限內(nèi)).
顯然,直線PQ的斜率存在,不妨設直線PQ:y=k(x-2)+2,Q(x1,y1),R(x2,y2),
聯(lián)立圓的方程,得(1+k2)x2-22k(k-1)x+2(k2-2k-1)=0.
則x1=2k22k11+k2,y1=-2k2+2k11+k2
即Q(2k22k11+k2,-2k2+2k11+k2).
同理,直線PR的斜率為-k,用-k代替k,則R(2k2+2k11+k2,-2k22k11+k2).
那么直線QR的斜率為1為定值.

點評 本題考查軌跡方程的求解,考查直線的斜率,考查直線與拋物線的位置關系,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

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