Question

設(shè)f（x）=x²-（k+1）x+k
（1）若關(guān)于x的不等式f（x）＜0為（1，2），求實(shí)數(shù)k的值；
（2）設(shè)k＞1且k≠2，求關(guān)于x的不等式

f(x)

2-x

＜0的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得 1和2是x²-（k+1）x+k=0的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理可得 k的值．
（2）設(shè)k＞1且k≠2，關(guān)于x的不等式即

(x-1)(x-k)

x-2

＞0．
當(dāng)k＞2時(shí)，和 1＜k＜2兩種情況，分別利用穿根法求得不等式的解集．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²-（k+1）x+k，不等式f（x）＜0為（1，2），
∴1和2是x²-（k+1）x+k=0的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理可得1×2=k，即 k=2．
（2）設(shè)k＞1且k≠2，關(guān)于x的不等式

f(x)

2-x

＜0，即

(x-1)(x-k)

2-x

＜0，
即

(x-1)(x-k)

x-2

＞0．
當(dāng)k＞2時(shí)，利用穿根法求得不等式的解集為{x|1＜x＜2，或x＞k}；
當(dāng) 1＜k＜2時(shí)，利用穿根法求得不等式的解集為{x|1＜x＜k，或x＞2}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．