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15.已知點A(-2,0),B(2,0),P(x0,y0)是直線y=x+3上任意一點,以A,B為焦點的橢圓過P,記橢圓離心率e關(guān)于x0的函數(shù)為e(x0),那么下列結(jié)論正確的是( �。�
A.e與x0一一對應(yīng)B.函數(shù)e(x0)無最小值,有最大值
C.函數(shù)e(x0)是增函數(shù)D.函數(shù)e(x0)有最小值,無最大值

分析 運用橢圓的定義和離心率公式,可得a取最大值時e取最小,a取最小值時e取最大.再由橢圓的定義和定直線上一點與兩個定點的距離之和有最小值,而無最大值,即可判斷A,C,D錯;B正確.

解答 解:由題意可得c=2,橢圓離心率e=ca=2a
故當(dāng)a取最大值時e取最小,a取最小值時e取最大.
由橢圓的定義可得|PA|+|PB|=2a,a=|PA|+|PB|2,
由于|PA|+|PB|有最小值而沒有最大值,
即a有最小值而沒有最大值,故橢圓離心率e有最大值而沒有最小值,故B正確,且D不正確.
當(dāng)直線y=x+3和橢圓相交時,這兩個交點到A、B兩點的距離之和相等,都等于2a,
故這兩個交點對應(yīng)的離心率e相同,故A不正確.
由于當(dāng)x0的取值趨于負(fù)無窮大時,|PA|+|PB|=2a趨于正無窮大;
而當(dāng)x0的取值趨于正無窮大時,|PA|+|PB|=2a也趨于正無窮大,
故函數(shù)e(x0)不是增函數(shù),故C不正確.
故選B.

點評 本題考查橢圓的定義和離心率公式的運用,以及直線上一點與兩定點的距離之和的最值的判斷,考查推理能力,屬于中檔題.

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