解:(1)設(shè)橢圓的方程為mx
2+ny
2=1,
因?yàn)闄E圓經(jīng)過兩點(diǎn)M(1,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/5477.png)
),N(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/5054.png)
),
所以可得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/535333.png)
由①與②消去m可得n=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
,③
將③代入①得m=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/112.png)
,
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8695.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1791.png)
=1.
拋物線C:x
2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F(0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/786.png)
),依題意得直線FP與直線l:x-y-2=0互相垂直,所以直線FP的斜率為-1,則k
FP=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/535334.png)
=-1,解得p=2,所以x
2=4y.
(2)由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/535335.png)
得y
2+y-2=0,解得y=1或y=-2(不合題意,舍去),
當(dāng)y=1時(shí),得x=±2,因?yàn)閤
A<x
B,所以A(-2,1),對(duì)y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
x
2求導(dǎo),得y′=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
x,所以y′|
x=-2=-1,所以直線l′的方程為y-1=-1×(x+2),即x+y+1=0,令x=0得y=-1,令y=0得x=-1,所以直線l′與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為S=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
×|-1|×|-1|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
.
(3)由x
2-2mx+y
2+2y+m
2-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1112.png)
=0得(x-m)
2+(y+1)
2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8777.png)
,其圓心坐標(biāo)為(m,-1),半徑r=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1412.png)
,
要使直線l′與圓x
2-2mx+y
2+2y+m
2-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1112.png)
=0恒有公共點(diǎn),則需滿足(m,-1)到直線l′:x+y+1=0的距離d≤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1412.png)
,即d=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/535336.png)
≤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1412.png)
,得-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/127900.png)
≤m≤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/127900.png)
,
即m的取值范圍為[-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/127900.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/127900.png)
].
分析:(1)設(shè)橢圓的方程為mx
2+ny
2=1,因?yàn)闄E圓經(jīng)過兩點(diǎn)M(1,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/5477.png)
),N(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/5054.png)
),所以可得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/535333.png)
由①與②消去m可得n=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
,由此能求出拋物線方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/535335.png)
得y
2+y-2=0,解得y=1或y=-2(不合題意,舍去),當(dāng)y=1時(shí),得x=±2,因?yàn)閤
A<x
B,所以A(-2,1),對(duì)y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
x
2求導(dǎo),得y′=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
x,所以直線l′的方程為x+y+1=0,由此能求出直線l′與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積.
(3)由x
2-2mx+y
2+2y+m
2-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1112.png)
=0得(x-m)
2+(y+1)
2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8777.png)
,其圓心坐標(biāo)為(m,-1),半徑r=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1412.png)
,要使直線l′與圓x
2-2mx+y
2+2y+m
2-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1112.png)
=0恒有公共點(diǎn),則需滿足(m,-1)到直線l′:x+y+1=0的距離d≤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1412.png)
,由此能求出m的取值范圍.
點(diǎn)評(píng):本題考查直線 與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用,具有一定的難度,解題時(shí)要認(rèn)真審題,合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.