若m∈R,命題p:設(shè)x1和x2是方程x2-ax-3=0的兩個實根,不等m2-2m-4≥|x1-x2|對任意實數(shù)a∈[-2,2]恒成立命題q:“4x+m<0”是“x2-x-2>0”的充分不必要條件.求使p且¬q為真命題的m的取值范圍.
分析:由方程的根與系數(shù)關(guān)系可得,x1+x2=a,x1x2=-3,而|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
代入結(jié)合a得范圍可求|x1-x2|的最大值,從而求出命題p對應(yīng)的m得范圍;再由“4x+m<0”是“x2-x-2>0”的充分不必要條件求出命題q對應(yīng)的m得范圍,最后結(jié)合復(fù)合命題的真值可求出使p且¬q為真命題的m的取值范圍.
解答:解:∵x1,x2是方程x2-ax-3=0的兩個實根
∴x1+x2=a,x1x2=-3
∴|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
a2+12

∵a∈[-2,2]∴
a2+12
∈[2
3
,4]
∵不等m2-2m-4≥|x1-x2|對任意實數(shù)a∈[-2,2]恒成立
∴m2-2m-4≥|x1-x2|max在a∈[-2,2]成立即可
∴m2-2m-4≥4解得m≤-2或m≥4
∴p:m≤-2或m≥4
∵x2-x-2>0∴x<-1或x>2
∵4x+m<0∴x<-
m
4

∵“4x+m<0”是“x2-x-2>0”的充分不必要條件
∴-
m
4
≤-1解得m>4
∴q:m≥4
∵p且¬q為真命題
∴{m|m≤-2或m≥4}∩{m|m<4}={m|m≤-2}
點評:本題主要考查了恒成立問題,以及復(fù)合命題的真假判斷的應(yīng)用,解題得關(guān)鍵是熟練應(yīng)用函數(shù)的知識準(zhǔn)確求出命題p,q為真時的m的取值范圍,屬于中檔題.
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3
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3

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1
3
x3+
m
2
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