Question

現將邊長為2米的正方形鐵片ABCD裁剪成一個半徑為1米的扇形和一個矩形CRGP，如圖所示，點E、F、P、R分別在AB、AD、BC、CD上，點G在上．設矩形CRGP的面積為S，∠GAE=θ，試將S表示為θ的函數，并指出點G在的何處時，矩形面積最大，并求之．

Answer 1

【答案】分析：先利用線段之間的關系求出矩形CRGP的面積S關于θ的函數關系式，再借助于θ的取值范圍以及二次函數在閉區(qū)間上求最值的方法即可求出矩形面積最大值．
解答：解：延長RG交AB于點M，則GP=AB-AM=2-cosθ，PC=BC-MG=2-sinθ，
于是，S=GP•PC=4-2（sinθ+cosθ）+sinθ•cosθ
令t=sinθ+cosθ=sin（θ+45°），則sinθcosθ=，
所以S=4-2t+=（t-2）²+．
∵0≤θ≤90
∴
∴當t=1，即θ=45°時，S有最大值2，
此時點G在的中點，矩形面積最大值為2．
點評：本題主要考查三角函數知識的應用問題．解決本題的關鍵在于求出矩形CRGP的面積S關于θ的函數關系式．