Question

(

x

+1)n的展開式中，只有第6項(xiàng)的系數(shù)最大，則x⁴的系數(shù)為（　�。�

A．45

B．50

C．55

D．60

Answer 1

分析：依題意，n=10，從而可求x⁴的系數(shù)．

解答：解：∵(

x

+1)n的展開式中，T_r+1=

C

r n

•(

x

)n-r，
∴第r+1項(xiàng)的系數(shù)等于第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，
由二項(xiàng)式系數(shù)的先增后減的性質(zhì)可知，其展開式中中間一項(xiàng)（n為偶數(shù)）或二項(xiàng)（n為奇數(shù)）的二項(xiàng)式系數(shù)最大．
∵(

x

+1)n的展開式中，只有第6項(xiàng)的系數(shù)最大，
∴第六項(xiàng)為其展開式中的中間項(xiàng)，
∴(

x

+1)n的展開式中，共有11項(xiàng)，
∴n=10，
∴T_r+1=

C

r 10

•x

10-r

2

•1^r，
由

10-r

2

=4得：r=2．
∴x⁴的系數(shù)為

C

2 10

=

10×9

2

=45．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求得r=2是關(guān)鍵，也可以由

C 5 n ＞C 4 n C 5 n ＞C 6 n

求得n，考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．