Question

已知點(diǎn)B（0，1），點(diǎn)C（0，-3），直線PB、PC都是圓（x-1）²+y²=1的切線（P點(diǎn)不在y軸上）．以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，且焦點(diǎn)在x軸上的拋物線C恰好過點(diǎn)P．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點(diǎn)（1，0）作直線l與拋物線C相交于M，N兩點(diǎn)，問是否存在定點(diǎn)R，使

RM

•

RN

為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)及常數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出直線的方程，根據(jù)圓心到直線的距離為半徑1求得k，則PC的方程可得，與方程y=1聯(lián)立求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，則拋物線的方程可得．
（2）設(shè)直線l的方程代入拋物線方程并整理，設(shè)出M，N的坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理求得y₁+y₂和y₁y₂的表達(dá)式，設(shè)R（x₀，y₀），
進(jìn)而表示出

RM

•

RN

進(jìn)而可推斷出當(dāng)x₀=y₀=0時(shí)上式是一個(gè)與m無關(guān)的常數(shù)．?dāng)喽ù嬖诙�點(diǎn)R（0，0），相應(yīng)的常數(shù)是

2

3

．

解答：解：（1）設(shè)直線PC的方程為：y=kx-3，
由

|k-3|

k2+1

=1得k=

4

3

，所以PC的方程為y=

4

3

x-3.
由

y=1 y= 4 3 x-3

得P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1）．
可求得拋物線的方程為y2=

1

3

x．
（2）設(shè)直線l的方程為x=my+1，
代入拋物線方程并整理得y2-

1

3

my-

1

3

=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y1+y2=

1

3

m，y1y2=-

1

3

設(shè)R（x₀，y₀），
則

RM

•

RN

=(x1-x0，y1-y0)•(x2-x0，y2-y0)=（x₁-x₀）（x₂-x₀）+（y₁-y₀）（y₂-y₀）
=（my₁+1-x₀）（my₂+1-x₀）+（y₁-y₀）（y₂-y₀）
=m²y₁y₂+m（1-x₀）（y₁+y₂）+（1-x₀）²+y₁y₂-y₀（y₁+y₂）+y₀²
=

1

3

x0m2-

1

3

y0m+(1-x0)2+y02-

1

3

．
當(dāng)x₀=y₀=0時(shí)上式是一個(gè)與m無關(guān)的常數(shù)．
所以存在定點(diǎn)R（0，0），相應(yīng)的常數(shù)是

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題，通常有兩種方法：一是轉(zhuǎn)化為研究方程組的解的問題，利用直線方程與圓錐曲線方程所組成的方程組消去一個(gè)變量后，將交點(diǎn)問題（包括公共點(diǎn)個(gè)數(shù)、與交點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的問題）轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及判別式解決問題；二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想．