Question

如圖，PD垂直正方形ABCD所在平面，AB=2，E是PB的中點，cos＜

DP

，

AE

＞=

3

3

．
（1）建立適當?shù)目臻g坐標系，寫出點E的坐標；
（2）在平面PAD內(nèi)求一點F，使EF⊥平面PCB．

Answer 1

分析：（1）以DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間坐標系，求出

AE

和

DP

的坐標，代入兩個向量的夾角公式，解方程求得點E坐標．
（2）由F∈平面PAD，可設F（x，0，z），則

EF

•

BC

=0，且

EF

•

PC

=0，解方程組求得F的坐標．

解答：解：（1）以DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間坐標系，則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）．                                 
設P（0，0，2m），則E（1，1，m）．
∴

AE

=（-1，1，m），

DP

=（0，0，2m），
∴cos＜

DP

，

AE

＞=

2m2

1+1+m2 •2m

=

3

3

，解得m=1．
∴點E坐標是（1，1，1）．
（2）∵F∈平面PAD，∴可設F（x，0，z）?

EF

=（x-1，-1，z-1）．
∵EF⊥平面PCB，∴

EF

⊥

CB

?（x-1，-1，z-1）•（2，0，0）=0?x=1．
∵

EF

⊥

PC

，∴（x-1，-1，z-1）•（0，2，-2）=0?z=0．
∴點F的坐標是（1，0，0），即點F是AD的中點．

點評：本題考查兩個向量的夾角公式，向量和平面垂直的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．