Question

【題目】現(xiàn)有正方形ABCD和一個(gè)以O(shè)為直角頂點(diǎn)的三角板，移動(dòng)三角板，使三角板兩直角邊所在直線分別與直線BC、CD交于點(diǎn)M、N．

（1）如圖1，若點(diǎn)O與點(diǎn)A重合，則OM與ON的數(shù)量關(guān)系是
（2）如圖2，若點(diǎn)O在正方形的中心（即兩對角線交點(diǎn)），則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；
（3）如圖3，若點(diǎn)O在正方形的內(nèi)部（含邊界），當(dāng)OM=ON時(shí)，請?zhí)骄奎c(diǎn)O在移動(dòng)過程中可形成什么圖形？
（4）如圖4，是點(diǎn)O在正方形外部的一種情況．當(dāng)OM=ON時(shí)，請你就“點(diǎn)O的位置在各種情況下（含外部）移動(dòng)所形成的圖形”提出一個(gè)正確的結(jié)論．（不必說明）

Answer 1

【答案】
（1）OM=ON
（2）

解：仍成立．

證明：如圖2，

連接AC、BD，則

由正方形ABCD可得，∠BOC=90°，BO=CO，∠OBM=∠OCN=45°

∵∠MON=90°

∴∠BOM=∠CON

在△BOM和△CON中

∴△BOM≌△CON（ASA）

∴OM=ON.

（3）

解：如圖3，

過點(diǎn)O作OE⊥BC，作OF⊥CD，垂足分別為E、F，則∠OEM=∠OFN=90°

又∵∠C=90°

∴∠EOF=90°=∠MON

∴∠MOE=∠NOF

在△MOE和△NOF中

∴△MOE≌△NOF（AAS）

∴OE=OF

又∵OE⊥BC，OF⊥CD

∴點(diǎn)O在∠C的平分線上

∴O在移動(dòng)過程中可形成線段AC．

（4）

解：O在移動(dòng)過程中可形成直線AC．

【解析】（1）解：若點(diǎn)O與點(diǎn)A重合，則OM與ON的數(shù)量關(guān)系是：OM=ON；

（1）根據(jù)△OBM與△ODN全等，可以得出OM與ON相等的數(shù)量關(guān)系；
　　　　（2）連接AC、BD，則通過判定△BOM≌△CON，可以得到OM=ON；
　　　�。�3）過點(diǎn)O作OE⊥BC，作OF⊥CD，可以通過判定△MOE≌△NOF，得出OE=OF，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)點(diǎn)O在∠C的平分線上；
　　　�。�4）可以運(yùn)用（3）中作輔助線的方法，判定三角形全等并得出結(jié)論．本題主要考查了四邊形中的正方形，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．解題時(shí)需要運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)，以及角平分線的判定定理．