Question

（2006年安徽卷）已知函數在R上有定義，對任何實數和任何實數，都有

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）證明 其中和均為常數；

（Ⅲ）當（Ⅱ）中的時，設，討論在內的單調性并求極值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析。（Ⅱ）見解析。

（Ⅲ）當時，函數在內取得極小值，極小值為

【解析】

試題分析：分析：（Ⅰ）抽象函數通過賦值法求解.

（Ⅱ）通過賦值，構做的關系.

（Ⅲ）利用（Ⅱ）中關系，表示出，利用導數研究函數單調性與極值性.

證明（Ⅰ）令，則，∵，∴。

（Ⅱ）①令，∵，∴，則。

假設時，，則，而，∴，即成立。

②令，∵，∴，

假設時，，則，而，∴，即成立�！�成立.

（Ⅲ）當時，，

令，得；

當時，，∴是單調遞減函數；

當時，，∴是單調遞增函數；

所以當時，函數在內取得極小值，極小值為

考點：本題主要考查分段函數、抽象函數及導數在研究單調性方面的應用。

點評：在抽象函數的求值和求解析式中要注意通過賦特殊值構造求解關系.