Question

已知函數(shù)y=5cos（

2k+1

3

πx-

π

6

）（其中k∈N），對任意實數(shù)a，在區(qū)間[a，a+3]上要使函數(shù)值

5

4

出現(xiàn)的次數(shù)不少于4次且不多于8次，求k值．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，可得cos（

2k+1

3

πx-

π

6

）=

1

4

．由余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得當(dāng)長度為3的區(qū)間大于2個周期且小于4個周期時，可使區(qū)間[a，a+3]上要使函數(shù)值

5

4

出現(xiàn)的次數(shù)不少于4次且不多于8次，由此建立關(guān)于k的不等式并解之，即可得到整數(shù)k的值．

解答：解：由5cos（

2k+1

3

πx-

π

6

）=

5

4

，得cos（

2k+1

3

πx-

π

6

）=

1

4

．
∵函數(shù)y=cosx在每個周期內(nèi)出現(xiàn)函數(shù)值為

1

4

的有兩次，而區(qū)間[a，a+3]長度為3，
∴為了使長度為3的區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)函數(shù)值

1

4

不少于4次且不多于8次，
必須使3不小于2個周期長度且不大于4個周期長度．
即2×

2π

2k+1 3 π

≤3且4×

2π

2k+1 3 π

≥3，
解之得

3

2

≤k≤

7

2

．
∵k∈N，故k值為2或3．

點評：本題給出三角函數(shù)滿足的條件，求參數(shù)k的取值，著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式的解法等知識，屬于中檔題．