18.如圖,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,PA=PD,且∠APD=90°,∠DAB=60°.
(I)若線段PC上存在一點(diǎn)M,使得直線PA∥平面MBD,試確定M點(diǎn)的位置,并給出證明;
(II)在第(I)問的條件下,求三棱錐C-DMB的體積.

分析 (I)取線段PC的中點(diǎn)M,連接MD,MB,連接AC、BD相交于點(diǎn)O,連接OM,由三角形中位線定理可得OM∥PA,再由線面平行的判定可得PA∥平面MBD;
(II)由PA=PD,取AD中點(diǎn)N,可得PN⊥AD,由面面垂直的性質(zhì)可得PN⊥平面ABCD,求出M到平面ABCD的距離h=$\frac{1}{2}PN=\frac{1}{2}$,然后利用等積法求得三棱錐C-DMB的體積.

解答 (I)當(dāng)M為線段PC的中點(diǎn)時(shí),直線PA∥平面MBD.
證明:取線段PC的中點(diǎn)M,連接MD,MB,連接AC、BD相交于點(diǎn)O,連接OM,
∵ABCD是菱形,∴O為AC的中點(diǎn),又M為PC的中點(diǎn),
∴OM∥PA,
∵OM?平面MBD,PA?平面MBD,
∴PA∥平面MBD;
(II)∵PA=PD,取AD中點(diǎn)N,∴PN⊥AD,
又平面PAD⊥平面ABCD,
∴PN⊥平面ABCD,
∵∠APD=90°,AD=2,PN=$\frac{1}{2}AD=1$,
又M為PC的中點(diǎn),∴M到平面ABCD的距離h=$\frac{1}{2}PN=\frac{1}{2}$.
∵ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,∠DAB=60°,∴${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$.
∴${V}_{C-DMB}={V}_{M-BCD}=\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•h=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定,考查空間想象能力和思維能力,訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積,是中檔題.

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