Question

拋物線y²=4x焦點F，則經(jīng)過點F，M（4，4）且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的個數(shù)為

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線的方程求得焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線的方程，設(shè)出所求圓的圓心，表示出半徑，則圓的方程可得，把M，F(xiàn)點的坐標(biāo)代入整理求得h，和g，則圓的方程可求．

解答：解：解：拋物線y²=4x的焦參數(shù)p=2，所以F（1，0），準(zhǔn)線l：x=-1，即x+1=0，
設(shè)經(jīng)過點M（4，4）、F（1，0），且與直線l相切的圓的圓心為Q（a，b），
則半徑為Q到l的距離為即1+a，
∴所以圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=（1+a）²；
將M、F的坐標(biāo)代入，（4-a）²+（4-b）²=（1+a）²①，
（1-a）²+b²=（1+a）²②，
由①②得：b²-8b+1=10a，③
b²=4a，④
由③④得：3b²+16b-2=0，
解得b₁=

70 -8

3

，b₂=

70 +8

3

．
將b₁，b₂分別代入④得：a₁=

67-8 70

18

，a₂=

67+8 70

18

．
故圓的個數(shù)為2個．
故答案為：2．

點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．考查了運用待定系數(shù)法求圓的方程以及圓與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查運算能力，屬于難題．