Question

已知函數(shù)f（x）=x²-alnx，a∈R．
（Ⅰ） 討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）若f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求函數(shù)f（x）的定義域為{x|x＞0}，再求導f′(x)=2x-

a

x

=

2x2-a

x

；從而討論導數(shù)的正負以確定函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）由f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增知f′(x)=

2x2-a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，從而化為最值問題．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為{x|x＞0}；
f′(x)=2x-

a

x

=

2x2-a

x

；
當a≤0時，f′（x）＞0恒成立，
f（x）在（0，+∞）上遞增；
當a＞0時，x∈(0，

2a

2

)時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
x∈(

2a

2

，+∞)時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
（Ⅱ）∵f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f′(x)=

2x2-a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴a≤2x²，
即a≤2．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題，屬于中檔題．