
解:(1)解法一:∵DE=4,PE=2,∠PED=60°,由弦定理得PD=2

,
∵PD
2+PE
2=16=DE
2,∴PE⊥PD.∵EF⊥PE,EF⊥DE∴,EF⊥平面PDE,又∵EF∥AD,∴AD⊥平面PDE,∴AD⊥PE,又∵直線AD,PD在平面APD內,且相交于D,∴PE⊥平面APD.
解法二:EF⊥PE,EF⊥DE∴,EF⊥平面PDE∴平面DEF⊥平面PDE
以DA所在的直線為 x軸,以DE所在的直線為y軸,在平面DPE內過D作DE的垂線,以垂線所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,如圖
則D(0,0,0),A(3,0,0),P(0,3,

),E(0,4,0)
∴

=(3,0,0),

=(0,3,

),

=(0,-1,

).∵

•

=0,

•

=0,∴

⊥

,

⊥

∴DA⊥EP,DP⊥EP,∵DA,DP是平面ADP內的相交直線,∴PE⊥平面APD.
(II)由(I)知AD⊥平面PDE,∴平面ADE⊥平面PDE
以DA所在的直線為 x軸,以DE所在的直線為y軸,在平面DPE內過D作DE的垂線,以垂線所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,如圖
則D(0,0,0),A(3,0,0),P(0,3,

),E(0,4,0),F(

,4,0),B(3,2,0),∴

=(3,2,0),

=(

,1,-

)
∴

=

設BD與PF所成的角為θ,則θ=

,∴

(III)由(II)知

=(0,-1,

).

=(

,1,-

)
∵PE⊥平面ADP,∴平面ADP的法向量為

=

=(0,-1,

).
設M是線段PF上一點,則存在0≤λ≤1,
使

∴

═(0,3,

)+λ(

,1,-

)=(

,λ+3,

)
.

=

=

,如果直線DM與平面ADC所成的角為30°,
那么|

|=sin30°,即

=

解得

∵此方程在[0,1]內無解,
∴在在線段PF上不存在一點M,使DM與平在ADP所成的角為30°.
分析:(I)由題設條件及圖形知,本題可采用兩種方法求解,
法一,證明AD⊥PE,PE⊥PD,再利用線面垂直的判定定理證明即可;
法二,用向量法,建立如圖的坐標系,根據題設條件寫出各點的坐標,易得直線PE的方向向量與面內兩直線AD,PD的方向向量,用數量積證明即可;
(II)本題用向量法比較方便,借助(I)中的坐標系,易得兩異面直線的方向向量,用數量積求兩異面直線的夾角的余弦值或其補角的余弦值;
(III)先假定存在,設出點M的坐標,由線面垂直的條件尋求滿足題意的條件,根據DM與平在ADP所成的角為30°,建立方程求參數,為了解答本題,需要求出平面的法向量與直線DM的方向向量.然后利用相關規(guī)則求夾角的余弦,令其值等于sin30°,建立方程求參數,若能求出符合條件的參數,則說明存在,否則,說明不存在.
點評:本題考查用向量法證明線面垂直,求兩異面直線所成的角,驗證是否存在一點M使得DM與平在ADP所成的角為30°的問題,用向量法解決此類問題大大降低了解題難度,是解此類題的一個優(yōu)先扶把思路.