Question

為迎接山東省第23屆運(yùn)動(dòng)會(huì)在濟(jì)寧召開，濟(jì)寧市加快了城市建設(shè)改造的步伐．在太白路升級(jí)改造工程中，欲在京杭大運(yùn)河上新建一座跨河大橋，最兩端的兩橋墩相距m米．經(jīng)測(cè)算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元，距離為工米的相鄰兩橋墩之間的橋面工程費(fèi)用為（2+x）x萬元，假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記工程的總費(fèi)用為：y萬元．
（I ）試寫出y關(guān)于工的函數(shù)關(guān)系式；
（II）當(dāng)m=320米時(shí)，需建多少個(gè)橋墩才能使得工程總費(fèi)用y最小，最小費(fèi)用為多少萬元？

Answer 1

分析：（I）設(shè)出建n個(gè)橋墩，則求出橋墩數(shù)與相鄰兩橋墩之間距離x的關(guān)系，所有橋墩的工程費(fèi)為256n，橋面工程費(fèi)用
為（n-1）（2+x）x；兩項(xiàng)費(fèi)用加起來為工程的總費(fèi)用y
（II）將m的值代入y的解析式，化簡(jiǎn)解析式；利用基本不等式求出最小值，檢驗(yàn)等號(hào)何時(shí)取得．

解答：解：（I）設(shè)需建n個(gè)橋墩，則（n-1）x=m即n=

m

x

+1
所以y=f（x）=256n+（n-1）（2+x）x
=256(

m

x

+1)+

m

x

(2+x)x
=

256m

x

+mx+2m+256(0＜x＜m)
（II）由（I）知，y=m(

256

x

+x)+2m+256
≥32m+2m+256
=34m+256
=34×320+256=11136
當(dāng)且僅當(dāng)

256

x

=x即x=16時(shí)取等號(hào)，
所以f（x）在x=16時(shí)取得最小值．此時(shí)，n=

m

x

+1=

320

16

+1=21
故需要建21個(gè)橋墩才能使工程費(fèi)用最小，最小費(fèi)用為11136萬元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力、考查利用基本不等式求函數(shù)的最值要注意滿足的條件：一正、二定、
三相等．