Question

已知函數(shù)f（x）=3x³-x+1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求切于點（1，3）的切線方程；
（3）求函數(shù)f（x）在[-1，

1

3

]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求切于點（1，3）的切線方程；
（3）根據(jù)函數(shù)最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù)f（x）在[-1，

1

3

]上的最大值與最小值．

解答： 解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=9x²-1，
令9x2-1＜0⇒-

1

3

＜x＜

1

3

，遞減區(qū)間為：(-

1

3

，

1

3

)；
（2）k=f′（1）=8，
則切線方程為：y-3=8（x-1），
即8x-y-5=0
（3）當(dāng)x變化時，y'與y的變化情況如下：

x	[-1，- 1 3 )	- 1 3	(- 1 3 ， 1 3 )	1 3	( 1 3 ，+∞)
y'	+	0	-	0	+
y	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴ymax=f(-

1

3

)=

11

9

，而f(-1)=-1，f(

1

3

)=

7

9

，
∴y_min=f（-1）=-1．

點評：本題主要考查函數(shù)的切線以及函數(shù)的單調(diào)性和最值的求解，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．