Question

設函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，對?x∈[-1，1]，均有f（x）≤1．求證：對?x∈[-1，1]，均有|2ax+b|≤4．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題,不等式的解法及應用

分析：設g（x）=2ax+b，則g（x）為單調(diào)函數(shù)．故只需證|g（1）|≤4，且|g（-1）|≤4．

解答： 證明：設g（x）=2ax+b，則g（x）為單調(diào)函數(shù)．故只需證|g（1）|≤4，且|g（-1）|≤4．
由于對任意x∈[-1，1]，均有-1≤f（x）≤1，
∴

-1≤a+b+c≤1 -1≤a-b+c≤1 -1≤c≤1

，
∴

-2≤a+b≤2 -2≤a-b≤2

∴-2≤a≤2．
又∵2a±b=a+（a±b），∴-4≤2a±b≤4，
即-4≤g（±1）≤4，即|g（±1）|≤4．
∴對任意x∈[-1，1]，均有|2ax+b|≤4．

點評：本題主要考查了絕對值不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．